Racionalização de denominadores – O que é e possíveis racionalizações

A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

De maneira mais simples, consiste em transformar um denominador irracional em um número racional, mas sem alterar o valor numérico de uma fração.

Além disso, a racionalização de denominadores simplifica a execução dos cálculos, tornando-os mais rápidos de efetuar.

Como é feita a racionalização de denominadores?

Considere a fração

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, cujo denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por

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. Dessa maneira, observe que conseguimos obter uma fração equivalente:

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Sendo assim, repare que a fração equivalente

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possui um denominador racional.

E assim é feita a famosa racionalização de denominadores, que consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a uma anterior.

Portanto, como observado, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.

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Conjugado de um número

O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número sem raiz, ou seja, um número racional.

É importante saber, que quando o número for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz. Isso porque a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, é possível eliminar a raiz, tornando assim um número racional.

Exemplo: Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.

Como visto anteriormente, o conjugado da raiz de dois é a própria raiz de dois. Sendo assim:

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Obs.: Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz. Porém, será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.

Racionalizando uma fração

Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:

Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador; Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração; Simplificar a fração equivalente encontrada.

Vamos aos exemplos para melhor entendimento:

Exemplo 1:

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Fonte: Brasil Escola Exemplo 2:

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Fonte: Brasil Escola Exemplo 3:

Já quando o denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fração por um termo conveniente. Só assim para desaparecer o radical que se encontra no dominador.

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Fonte: Só Matemática Exemplo 4:

Agora, quando o denominador é composto por uma adição ou uma subtração envolvendo alguma raiz quadrada, o processo é um pouco diferente. Nesses casos é mais prático utilizar as propriedades do produto da soma pela diferença dos mesmos termos.

Assim, se o denominador envolve uma adição, multiplicaremos a fração pela diferença dos termos no denominador e vice-versa.